组合数学笔记 on Meze's Bloghttps://meze0.top/categories/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AC%94%E8%AE%B0/Recent content from Meze's BlogHugozh-cnzysmeze@gmail.com (Meze)zysmeze@gmail.com (Meze)本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！Fri, 17 Jul 2026 18:39:00 +0800【组合数学】生成函数https://meze0.top/post/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%9F%E6%88%90%E5%87%BD%E6%95%B0/Fri, 17 Jul 2026 18:39:00 +0800zysmeze@gmail.com (Meze)https://meze0.top/post/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%9F%E6%88%90%E5%87%BD%E6%95%B0/ 【组合数学】生成函数

作者：Meze（zysmeze@gmail.com）

生成函数简介

当式子 $\sum a_n x^n$ 是有限项相加时，称为多项式；无限项相加时，称为幂级数。形式幂级数（FPS）的意思就是 $x$ 的意义仅表示形式符号。
生成函数本质上是形式幂级数或者多项式，对于序列 $\langle a_0,a_1,a_2,\cdots \rangle$，它的生成函数是

$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots $$

定义 $[x^i]f(x)$ 表示在 $f(x)$ 的展开式中 $x^i$ 的系数，即 $[x^i]f(x)=a_i$。对于两个序列的生成函数，有加法、乘法（卷积）、逆元和复合等运算。设这两个生成函数是

$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i $$$$ g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i $$

加法

$$ f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(a_i+b_i)x^i $$

加法运算满足交换律和结合律。

乘法（卷积）

$$ f(x) \cdot g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \sum_{i=0}^{n}a_i b_{n-i}\right )x^n $$

乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

逆元

若 $f(x)g(x)=1$，则称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的逆元，记作 $g(x)=f^{-1}(x)$
存在性定理：$f(x)$ 存在逆元的充要条件是常数项不为 $0$。

复合

复合函数 $f(g(x))$ 存在必须满足 $f(x)$ 是多项式或者 $g(0)=0$.

$$ f \circ g=f(g(x))=\sum_{i=0}^{\infty} a_ig^i(x) $$

复合运算同样满足结合律。

本文2026-07-17首发于Meze's Blog，最后修改于2026-07-17

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作者：Meze（zysmeze@gmail.com）

容斥原理

定义

对于 $n$ 个有限集合 $A_i$，对集合求并集并计数，有如下式子：

$$ \left | \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right |=\sum_{\emptyset \ne T \subseteq \left \{ 1,2, \cdots , n \right \}} (-1)^{|T|-1} \left | \bigcap_{k \in T} A_k\right | $$

证明

考虑每个元素被计数了几次，对于任意一个元素 $x$，假设它在集合 $T_1,T_2, \cdots , T_m$ 当中均出现过，那么 $x$ 被计的次数是 $\text{cnt}_x$

$$ \begin{aligned} \text{cnt}_x &= \sum_{\emptyset \ne S \subseteq \left \{ 1,2,\cdots,m \right \}} (-1)^{|S|-1} \cdot 1 \\ &=\sum_{i=1}^{m} (-1)^{i-1} \binom{m}{i} \\ &=1 \end{aligned} $$

由此可见每一个元素在容斥原理的计算过程中只被计算了一次，因此成立。

本文2026-07-14首发于Meze's Blog，最后修改于2026-07-14

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作者：Meze（zysmeze@gmail.com）

基础原理与排列组合

计数原理

组合数学的核心在于计数，主要依赖两个基本原理：

  • 加法原理（分类计数）：完成一件工程有 $n$ 类办法，第 $i$ 类办法有 $a_i$ 种不同方法（$i \in [1, n]$）。则完成该工程的总方法数为各类方法之和： $$\sum_{i=1}^{n} a_i$$
  • 乘法原理（分步计数）：完成一件工程需要 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $a_i$ 种不同方法（$i \in [1, n]$）。则完成该工程的总方法数为各步方法之积： $$\prod_{i=1}^{n} a_i$$

排列数

定义：从 $n$ 个不同元素中，选择 $m$ 个元素组成排列的个数。

推导：基于乘法原理，第 1 个位置有 $n$ 种选择，第 2 个位置有 $n-1$ 种选择，以此类推，第 $m$ 个位置有 $n-m+1$ 种选择，故相乘得证。

公式：

$$A_n^m = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$$
  • 全排列：当 $m=n$ 时，$A_n^n = n!$，即 $n$ 个元素的全排列。

组合数

定义：从 $n$ 个不同元素中，取出 $m$ 个元素组成集合（不考虑顺序）的个数。

本文2026-02-13首发于Meze's Blog，最后修改于2026-02-13

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